This can be represented by a Klein bottle. Il est également possible de le fixer à l'aide d'une petite chaîne.
2.
One case, the non-orientable Klein bottle, proved an exception to the general formula. Un cas, la bouteille de Klein, constitue une exception a la formule générale.
3.
A Klein bottle is homeomorphic to the connected sum of two projective planes. De manière équivalente, la bouteille de Klein est la somme connexe de deux plans projectifs.
4.
The Klein bottle was first described in 1882 by the German mathematician Felix Klein. La bouteille de Klein a été décrite pour la première fois en 1882 par le mathématicien allemand Felix Klein.
5.
BS(1, 1) is the free abelian group on two generators, and BS(1, −1) is the fundamental group of the Klein bottle. Ainsi BS(1, 1) est le groupe abélien libre sur deux generateurs, et BS(1, −1) est le groupe fondamental de la bouteille de Klein.
6.
Philip Franklin (1930) proved that the Klein bottle requires at most 6 colors, rather than 7 as predicted by the formula. Philip Franklin (en) a démontré en 1930 que la bouteille de Klein requiert au plus 6 couleurs au lieu des 7 couleurs prédites par la formule.
7.
The Franklin graph can be drawn on the Klein bottle in a way that forms six mutually-adjacent regions, showing that this bound is tight. Le graphe de Franklin peut être tracé sur la bouteille de Klein de manière a former six régions mutuellement adjacentes, ce qui montre que la borne est atteinte.
8.
Note that combinatorial maps were extended to generalized maps that allow also to represent non-orientable objects like the Möbius strip and the Klein bottle. On peut étendre les cartes combinatoires à des cartes dites généralisées qui permettent aussi de représenter des objets non orientables comme le ruban de Möbius ou la bouteille de Klein.
9.
Replacing the genus by the Euler characteristic, we obtain a formula that covers both the orientable and non-orientable cases, γ ( χ ) = ⌊ 7 + 49 − 24 χ 2 ⌋ . {\displaystyle \gamma (\chi )=\left\lfloor {\frac {7+{\sqrt {49-24\chi }}}{2}}\right\rfloor .} This relation holds, as Ringel and Youngs showed, for all surfaces except for the Klein bottle. Si l'on remplace le genre par la caractéristique d'Euler, on obtient une formule qui couvre à la fois le cas orientable et non orientable, et qui est : γ ( χ ) = ⌊ 7 + 49 − 24 χ 2 ⌋ .
10.
When studying non-orientable manifolds, it is sometimes useful to allow fibers to have neighborhoods that look like the surface bundle of a reflection (rather than a rotation) of a disk, so that some fibers have neighborhoods looking like fibered Klein bottles, in which case there may be one-parameter families of exceptional curves. Également, quand on étudie les variétés non orientables, il est parfois utile d'autoriser, comme voisinage tubulaire, un tore de réflexion du disque (au lieu d'un tore de rotation), i.e. une bouteille de Klein solide fibrée (au lieu d'un tore solide fibré standard), auquel cas les fibres exceptionnelles peuvent former des familles à un paramètre (au lieu d'être isolées).
